Schwartz's complex hyperbolic surface

Compact hyperbolic Coxeter 4-polytopes with 8-facets

我们研究最对称的双曲单孔环面上的闭测地线的长度（或迹多项式）。

设T是一个双曲单孔环面(简称为双曲环面)。这里的“孔”可以是开口(设边界测地线的长度为λ>0)或尖点。任取该双曲结构的和乐表示的提升，使之成为曲面的基本群到SL(2,R)的表示，可知围绕孔的简单闭曲线所对应的矩阵的迹为 τ = -2cosh(λ/2), 或 -2.

记 μ=τ+2, 则有 μ≤0. 可以选择和乐表示的提升，使得T上每条非边界的简单闭测地线(长度为L>0)的迹都是正的，从而等于2cosh(L/2) > 2. 选定T上三条简单闭测地线，它们两两相交一次；设它们的迹分别为 x>2, y>2, z>2; 则 x, y, z 满足所谓几何Markoff方程

x^2 +y^2 +z^2 –xyz = μ.

而T上每条闭测地线的迹是x, y, z的多项式。

具有固定边界的所有双曲环面构成相对Teichmuller空间Teich_{1,1}(μ), 即

Teich_{1,1}(μ) = { (x, y, z) | x>2, y>2, z>2, x^2 +y^2 +z^2 –xyz = μ }.

则最对称的双曲环面T对应于参数组 (3+x, 3+x, 3+x), 其中x≥0. 设在T的和乐表示的适当提升之下，选定的三条两两相交一次的简单闭测地线的SL(2,R)矩阵分别为A, B, A^{-1}B, 它们的迹都等于3+x. 设T上一条允许重复多圈的简单闭测地线所对应的正字W_{m, n} 由n个A和m个B组成(不妨要求m≤n)，迹为M(m, n).

对于多项式f, g, 我们记 f >>> g, 如果差 f - g 不是零多项式，且系数非负。

在与李祥飞的合作工作中，我们证明了：

(一) 用A, B写出的任何正字W的迹，作为x的多项式，其系数都是正的。我们进一步猜测该多项式的系数序列具有对数凹性。

(二) 设 W 是用n个A和m个B写出的字(其中m≤n)，而且W既不是简单闭曲线的字，也不是闭曲线A^n B^m的字。则有如下迹多项式不等式：

tr(W_{m, n}) <<< tr(W) <<< tr(A^n B^m).

 (三) 迹多项式 M(m, n) 具有如下单调性(其中m≤n)：

① (2+x) M(m-1, n) <<< M(m, n);

② (2+x) M(m, n) <<< M(m, n+1);

③ M(m-1, n+) >>> M(m, n).

在x=0的情形，这给出M. Aigner在书Markov’s Theorem and 100 Years of the Uniqueness Conjecture (Springer, 2013)中所猜测的Markoff数的单调性。

我们还提出了更多猜测，包括如下的凸性不等式猜测：